ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Historia sobre las Ecuaciones de segundo grado

Hoy hablaremos de las ecuaciones de segundo grado una historia que duro 400 años  el origen y la solución de las ecuaciones son de gran antigüedad. Las primeras apariciones en textos antiguos de “ecuaciones” datan del 1800 al 1600 a.C. en Mesopotamia, y traen algunos métodos para resolver ecuaciones lineales, aun que, la notación y forma de resolución de años pasados  dista una infinidad de la que nosotros poseemos actualmente. Habrían de pasar unos cuantos años, hasta el 1650 a. C. , que es la fecha de la que data el Papiro de Rindh, escrito en Egipto. En este texto casi puramente matemático se muestra un método de resolución general de ecuaciones de primer grado. La humanidad acaba de dar un paso, el primero, para dar la solución general de una ecuación para cualquier grado. Este papiro muestra además que los egipcios podían  resolver cierto tipo de ecuaciones de segundo grado, aunque aun desconocían un método general de resolución, que será el siguiente paso de nuestra historia.

Pasarían nada menos que 1500 años, hasta que un griego, Diofanto de Alejandría, diera con la fórmula que resuelve casi todas las ecuaciones de segundo grado. El segundo paso estaba logrado y ya   se habían resuelto todas las ecuaciones de primer y segundo grado

En Babilonia se conocieron un conjunto de instrucciones, reglas bien definidas para resolver dichas ecuaciones.  El resultado también fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones y  aun en el caso de que las dos soluciones sean positivas).

La fórmula, tal y como la vamos a ver, parece ser obra del matemático hindú Bhaskara

Bhaskara escribe su famoso “Siddhanta Siroman” en el año 1150. Este Libro se divide en 4 partes, Lilavati (aritmética), Vijaganita (álgebra), Goladhyaya (globo celestial), y Grahaganita (matemáticas de los planetas). La mayor parte del trabajo de Bhaskara en el Lilavati y Bijaganita procede de matemáticos anteriores, pero los sobrepasa sobre todo en la resolución de ecuaciones. Es aquí, donde aparece la  fórmula general que permite resolver una ecuación de segundo grado.

 Una ecuación de segundo grado o también llamada ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo máximo es dos. Una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio

Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).

OBTENCIÓN DE LA FORMULA GENERAL 

Toño realizo un viaje de 4 horas para visitar a su  novia Pamela. Recorrió 126 km en motocicleta y 230 km en automóvil. Le velocidad en el auto fue de 8 km/h mayor que la motocicleta. ¿Determinar la velocidad y tiempo en cada vehículo?

Cantidad desconocida	Información que podemos utilizar	Expresada en lenguaje algebraico	Argumentos o razones
Velocidad en la moto	Incógnita	X	Es la velocidad mas chica
Velocidad en el automóvil	8 km/h mayor que la moto	X + 8	X se le suma 8

     tm (tiempo en la moto)      = 126

                                                       X

 ta (tiempo en el automóvil) =  230

                                                  X + 8

 

126  + 230  = X (X+8)

  X      X+8

126X + 1008 + 230X = 4X (X+8)

126X + 1008 + 230X = 4X² + 32 X

4X² + 32X = 356X + 1008

4X² + 32X – 356X – 1008 = 0

4X² – 324X – 1008 = 0

X₁ = 324 + 348    = 84

                8

X₂ = 324 – 348     = -3

               8

5 PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON EL ARCHIVO DE EXCEL 

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2 

PROBLEMA 3

PROBLEMA 4

PROBLEMA 5

5 ejemplos de ecuaciones de segundo grado 

Ejemplo 1

ejemplo 2 

ejemplo 3

ejemplo 4

ejemplo 5

En esta entrada se encuentra una hoja de Excel y que resuelve  gráficas y ecuaciones de segundo grado que tengan soluciones reales.


https://docs.google.com/open?id=0ByTYEbbt23PNZTgwMWE3MzMtZjFjNi00YWNhLWFiNjAtYmUwZDI4NjEyZGYx